LaTeX作例6（行列、花文字、3.3.2）
- 量子化学に関する本を引用し、僕が書いたLaTeXの作例を紹介します
- ポイントとしては、筆記体のE,Hが登場します。少し特殊なフォントみたいで、本に書いてあった形と同じものを探すのに結構苦労しました。花文字とかいうフォントだったと思います
- ディラックのブラケットを含む行列が登場します
- プリアンブルは全部コピペして使ってるので、かなり余計なものも混ざってます。すいません
- パッケージは基本的にデフォルトで入ってるやつが使われていると思います（たぶん）
- ページ番号は原典と異なります
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『新しい量子化学―電子構造の理論入門』
出版社 : 東京大学出版会 (1987/7/1) - 発売日 : 1987/7/1
- 言語 : 日本語
- 単行本 : 303ページ
- ISBN-10 : 4130621114
- ISBN-13 : 978-4130621113
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[http://:title]
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\documentclass{jsarticle}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\usepackage{parskip}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{braket}
\usepackage{calligra}
\usepackage{calrsfs}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{bm}
\begin{document}
\subsubsection*{3.3.2 Brillouinの定理}
\parindent=1zw
Hartree-Fock方程式（3.70）はスピン軌道の組$\{\chi_i\}$を与える。軌道エネルギーの低い方から$N$個のスピン軌道$\{\chi_a\}$よりなる１個の行列式が、基底状態に対するHartree-Fock近似である。前の章で議論したように、組$\{\chi_i\}$から基底状態の行列式以外のたくさんの行列式をつくり出すことができる。Fock演算子の導出は済ませたので、これらの行列式の部分集合についての１つの定理をこれから証明しよう。この部分集合とは、１個だけの$\chi_a$を$\chi_r$で置き換えることによって$\ket{\Psi_0}$から得られる１電子励起行列式の組$\ket{\Psi_a^r}$である（図2.7参照）。正確な基底状態$\ket{\Phi_0}$を複数個の行列式で近似する場合、単純に考えるとこれらの１電子励起行列式がHartree-Fock基底関数$\ket{\Psi_0}$
$$\ket{\Phi_0}=c_0\ket{\Psi_0}+\sum\limits_{r\;a}c_a^r\ket{\Psi_a^r}+\cdots\eqno(3.96)$$
に対する最大の補正を与えると期待されるかもしれない。ここで補正項として１電子励起行列式だけを考えると、係数$c_a^r$は変分原理から基底$\{\Psi_0,\{\Psi_a^r\}\}$におけるハミルトニアン行列を対角化することによって決定される。しばらくの間、１個の１電子励起状態だけを含んだ固有値問題
$$\left(
\begin{array}{cc}
\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_0}&\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_a^r}\\
\braket{\Psi_a^r|\mathcal{H}|\Psi_0}&\braket{\Psi_a^r|\mathcal{H}|\Psi_a^r}\\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
c_0\\
c_a^r\\
\end{array}
\right)=\mathcal{E}_0\left(
\begin{array}{c}
c_0\\
c_a^r\\
\end{array}
\right)\eqno(3.97)$$
を考えよう。これら２つの状態の混合の度合いは非対角要素$\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_a^r}$に依存している。行列要素は、行列式間の行列要素を計算する規則を使って得られる。結果は、表2.5と表2.6からただちに得られて
$$\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_a^r}=\braket{a|h|r}+\sum\limits_b\braket{ab||rb}\eqno(3.98)$$
である。この式の右辺は簡単化できる。Exercise3.1で示したように、Fock演算子の行列要素が
$$\braket{\chi_i|f|\chi_j}=\braket{i|h|j}+\sum\limits_b\braket{ib||jb}\eqno(3.99)$$
で与えられるので
$$\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_a^r}=\braket{\chi_a|f|\chi_r}\eqno(3.100)$$
である。したがって$\ket{\Psi_0}$と１電子励起行列式を混合させる行列要素は、Fock行列の非対角要素に等しい。さて、定義によってHartree-Fock固有値問題では非対角要素$\braket{\chi_i|f|\chi_j}=0,\;(i\neq j)$になっていなければならない。つまりHartree-Fock固有値方程式を解くことは、$\ket{\Psi_0}$が任意の１電子励起行列式と混ざらないようにすることを意味する。したがって、式（3.97）に対する最低固有値解は
$$\left(
\begin{array}{cc}
E_0&0\\
0&\braket{\Psi_a^r|\mathcal{H}|\Psi_a^r}\\
\end{array}
\right)\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array}
\right)=E_0\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
\end{array}
\right)\eqno(3.101)$$
で与えられる。Hartree-Fock基底状態は、１電子励起行列式の混合によってそれ以上改善することはできないという意味において“安定”である。そういうわけで、２電子励起行列式$\ket{\Psi_{ab}^{rs}}$が$\ket{\Psi_0}$に対する最初の、かつ最も重要な補正を与えることが期待されることになる。これは、正確な基底状態$\ket{\Phi_0}$に１電子励起行列式が混ざっていないということを意味するのではない。１電子励起行列式は、２電子励起行列式を通じて、すなわち行列要素$\braket{\Psi_a^r|\mathcal{h}|\Psi_{ab}^{rs}}$および$\braket{\Psi_{ab}^{rs}|\mathcal{H}|\Psi_0}$によって間接的に混ざってくる。いま導かれた重要な結果はBrillouinの定理と呼ばれている。
\begin{description}
\item[Brillouinの定理]１電子励起行列式$\ket{\Psi_a^r}$はHartree-Fock行列式$\ket{\Psi_0}$と直接的には相互作用しない。すなわち、$\braket{\Psi_0|\mathcal{H}|\Psi_a^r}=0$である。
\end{description}
後の章で、この定理を使う機会が何度もあるであろう。
\end{document}
